:2020学年人教A版高中选修4-5 反证法与放缩法 学案

课堂探究
1．反证法中的数学语言
剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法．下面我们列举以下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.
常见
词语
至少有
一个
至多有
一个
唯一
一个
不是
不可
能
全
都是
否定
假设
一个也
没有
有两个或
两个以上
没有或有
两个以上
是
有或
存在
不全
不都是
对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．
2．放缩法的尺度把握等问题
剖析：(1)放缩法的理论依据主要有：
①不等式的传递性；
②等量加不等量为不等量；
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；
④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；
⑤三角函数的值域等．
(2)放缩法使用的主要方法：
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：
舍去或加上一些项：
2＋＞2；
将分子或分母放大(缩小)：
＜，＞，＜，＞(k∈R，k＞1)等．

题型一 利用反证法证明不等式
【例1】若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁，宜用反证法．
证法一：假设a＋b＞2，而a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，
但取等号的条件为a＝b＝0，显然不可能，
∴a2－ab＋b2＞0.