:2019高考数学专题训练--导数的综合应用（含解析）

专题限时集训(十四)　导数的综合应用
(建议用时：60分钟)
1．(2018•太原模拟)设函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x>0)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；
(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，
可得f′(x)＝2axln x＋ax＋b，
因为f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝e2－e＋1，
所以a＝1，b＝－1.
(2)证明：f(x)＝x2ln x－x＋1，
设g(x)＝x2ln x＋x－x2(x≥1)，
g′(x)＝2xln x－x＋1，(g′(x))′＝2ln x＋1＞0，
所以g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)≥g′(1)＝0，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥(x－1)2.
(3)设h(x)＝x2ln x－x－m(x－1)2＋1，
h′(x)＝2xln x＋x－2m(x－1)－1，
由(2)中知x2ln x≥(x－1)2＋x－1＝x(x－1)，
所以xln x≥x－1，所以h′(x)≥3(x－1)－2m(x－1)，
①当3－2m≥0即m≤32时，h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，成立．
②当3－2m<0即m>32时，
h′(x)＝2xln x＋(1－2m)(x－1)，
(h′(x))′＝2ln x＋3－2m，
令(h′(x))′＝0，得x0＝e2m－32＞1，
当x∈[1，x0)时，h′(x)＜h′(1)＝0，
所以h(x)在[1，x0)上单调递减，所以h(x)＜h(1)＝0，不成立．
综上，m≤32.
2．(2017•天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．
(1)求