:2019高考数学专题训练--圆锥曲线中的综合问题（含解析）

专题限时集训(十)　圆锥曲线中的综合问题
(建议用时：60分钟)
1．(2018•北京模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点1，22.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明．
[解]　(1)由题可得ca＝22，1a2＋222b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2b＝1c＝1.
所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
(2)结论：θ1＝θ2，理由如下：
由题知直线l1斜率存在，
设l1：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立y＝kx＋1x2＋2y2＝2，
消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
由题易知Δ＞0恒成立，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，
因为l2与l1斜率相反且过原点，
 
设l2：y＝－kx，E(x3，y3)，F(x4，y4)，
联立y＝－kxx2＋2y2＝2
消去y得(1＋2k2)x2－2＝0，
由题易知Δ＞0恒成立，
由根与系数的关系得x3＋x4＝0，x3x4＝－21＋2k2，
因为E，F两点不与A，B重合，
所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF，
则kAE＋kBF
＝k•x1＋x3＋1x2＋x3＋x2－x3＋1x1－x3x1－x3x2＋x3
＝k•2x1x2＋2x23＋x1＋x2x1－x3x2＋x3
＝k•22k2－21＋2k2＋2×21＋2k2＋－4