:高中数学人教A版选修2-3课堂导学：增减性与最值问题教案

课堂导学

三点剖析

一、增减性与最值问题

【例1】 在（1+2x）10的展开式中，（1）求系数最大的项；（2）若x=2。5，则第几项的值最大？

解析：（1）设第r+1项的系数最大，由通项公式Tr+1=·2rxr，依题意Tr+1项的系数不小于Tr项及Tr+2项的系数，

即，解得。

∴≤r≤且r∈Z，∴r=7，故系数最大项为T8=27x7=15 360x7。

(2)设展开式中的第r+1项的值最大，则Tr+1≥Tr＞0，Tr+1≥Tr+2＞0，

∴

∴。

将x=2。5代入得，得≤r≤。

∴r=9，即展开式中的第10项的值最大。

二、“二项式系数和”、“系数和”问题

【例2】 已知（1-3x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8。

求（1）a0+a1+…+a8；

(2)a0+a2+a4+a6+a8；

(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|。

解析：（1）令x=1，得

a0+a1+…+a8=28=256。 ①

(2)令x=-1，得

a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48 ②

∴①+②得

2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48。

∴a8+a6+a4+a2+a0=(28+48)=32 896。

(3)由于（1-3x）8

=C08+ (-3x)+ (-3x)2+…+(-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8

故a0，a2， …，a8＞0，a1，a3， …，a8＜0，

∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|

=a0-a1+a2-a3+…+a8。

由②可知

|a0|+|a1|+…+|a8|=48=65 536。

三、与“杨辉三角”有关的问题

【例3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第0行）为1，每一个数都等于脚下两数之和。

（1）试填写第1行和第2行，填法是否唯一，并说明理由。

（2）注意第n行（n=0，1，2，…）的第1个数为1n+1，猜想此时第n行第r个数（不证明）。