:小专题(十)_运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题


小专题(十)　运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题
类型1　针对腰长和底边长进行分类
方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．

1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)
A．5 B．6 C．7 D．8


2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)

A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
3．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．

类型2　针对顶角和底角进行分类
方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．

4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.


5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝∠B.
设∠A＝x°，则∠B＝2x°.
①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°.
∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋x＝180.
解得x＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B＝90°；
②若∠B是底角， ∠A≠∠B，
∴∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°.
∠A＋∠B＋∠C＝180