:小专题(七)_线段的垂直平分线的应用


小专题(七)　线段的垂直平分线的应用
类型1　线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝12_cm．

2．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．

解：∵△ACD的周长是14 cm，
∴AD＋DC＋AC＝14 cm.
又∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝DC.
∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.
∴AB＋AC＝14 cm.
∵AB比AC长3 cm，∴AB－AC＝3 cm.
∴AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm.

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.

证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
又∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线．
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.

类型2　线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用
4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？

解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置，如图．


类型3　线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用
5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置