:2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第8章_立体几何_42_word版含解析

【课时训练】第42节 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
解答题
1．(2018深圳一模)已知直三棱柱ABC－A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．
【解】如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，
∴＝(0，－1,2)，＝(－2,0，－2)．
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.

2．(2018大连二模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝2.M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝QC1.

(1)证明：PQ∥平面ABC；
(2)若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为，求∠BAC的大小．
(1)【证明】取MC的中点，记为点D，连接PD，QD.
P为MA的中点，D为MC的中点，
∴PD∥AC.

又CD＝DC1，BQ＝QC1，
∴QD∥BC.
又PD∩QD＝D，
∴平面PQD∥平面ABC.
又PQ⊂平面PQD，
∴PQ∥平面ABC.
(2)【解】 BC，BA，BB1两两互相垂直，∴以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.设BC＝a，BA＝b，则各点的坐标分别为B(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，b,0)，A1(0，b,2)，M(a,0,1)，
∴＝(0，b,2)，＝(0，b,0)，＝(a,0,1)．
设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
取x＝1，则可得平面ABM的一个法向量为n＝(1,0，－a)，
∴|cos〈n，〉|＝＝.
又a2＋b2＝8，∴a4＋4a2－12＝0.
∴a2＝2或－6(舍)，即a＝.
∴sin∠