:2018年中考数学真题分类汇编第三期--正多边形与圆（附解析）

正多边形与圆
填空题
1.（2018•云南省昆明•3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为　 ﹣ 　（结果保留根号和π）．
 
【分析】正六边形的中心为点O，连接OD.OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD.OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE= =60°，
∴OD=OE=DE=1，
∴OH= ，
∴正六边形ABCDEF的面积= ×1× ×6= ，
∠A= =120°，
∴扇形ABF的面积= = ，
∴图中阴影部分的面积= ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
 
【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
2. （2018•呼和浩特•3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　   　．
解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB.OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°= R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF= ∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°= R，
∴OQ：OH=（ R）：（ R）= ：1，
故答案为： ：1．
3. （2018•莱芜•4分）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 、 的圆心分别在边AB.CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E.F间的距离为　 　．