:初三数学相似形单元测试
初三数学相似形单元测试
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )
A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km
2.已知,则的值为( )
A. B. C.2 D.
3.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长应该是( )
A. B. C. D.
4.在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( )
A 20米 B 18米 C 16米 D 15米
5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于 ( )
A. B. C. D.
6.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有（)
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置
8、如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长（ ）
A． B．8 C．10 D．16
9、如图，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为 ( )
A．米 B．米 C．2米 D．1.5米
10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的
一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC=60m，高AD=30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二.填空题(每小题3分,共30分)
11、已知,则
12、已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB= .
13、把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的
长与宽之比为 .
14、如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),当 或 或 时,⊿ADE与⊿ABC相似.
15、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为____________。
16、如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米.
17、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 .
18、大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍,小矩形的面积是5cm2,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽
为 cm.
19、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1=80m，最短的钢索A4B4=20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
20、已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三.解答题(共60分)
21.(8分)在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).
22.、（5分）如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?
23、.如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F.
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由. （9分）
24、（8分）如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
25、（8分）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB=9，求BM．
26、（10分）如图，在△ABC的外接圆O中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，连结BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连结，若在弧上任取一点K（点A、B、C除外），连结交于点，DC2=DF·DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
27、（12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、(－1)/2 13、 14、略 15、65° 16、2.4米
17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/22005
21、略 22、20/3 23、略 24、20 25、（1）略（2）3
26、（1）△ABD∽△AEC∽△BED （2）成立。证明△DFC∽△DCK
27、（1）直线AB解析式为：y=x+．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴＝＝．
由题意： ＝，解得（舍去）∴Ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴
由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．
∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．
∴（1，）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝OM＝．
∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），（1，），（，），（，）．
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )
A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km
2.已知,则的值为( )
A. B. C.2 D.
3.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长应该是( )
A. B. C. D.
4.在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( )
A 20米 B 18米 C 16米 D 15米
5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于 ( )
A. B. C. D.
6.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有（)
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置
8、如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长（ ）
A． B．8 C．10 D．16
9、如图，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为 ( )
A．米 B．米 C．2米 D．1.5米
10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的
一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC=60m，高AD=30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二.填空题(每小题3分,共30分)
11、已知,则
12、已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB= .
13、把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的
长与宽之比为 .
14、如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),当 或 或 时,⊿ADE与⊿ABC相似.
15、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为____________。
16、如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米.
17、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 .
18、大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍,小矩形的面积是5cm2,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽
为 cm.
19、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1=80m，最短的钢索A4B4=20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
20、已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三.解答题(共60分)
21.(8分)在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).
22.、（5分）如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?
23、.如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F.
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由. （9分）
24、（8分）如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
25、（8分）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB=9，求BM．
26、（10分）如图，在△ABC的外接圆O中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，连结BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连结，若在弧上任取一点K（点A、B、C除外），连结交于点，DC2=DF·DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
27、（12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、(－1)/2 13、 14、略 15、65° 16、2.4米
17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/22005
21、略 22、20/3 23、略 24、20 25、（1）略（2）3
26、（1）△ABD∽△AEC∽△BED （2）成立。证明△DFC∽△DCK
27、（1）直线AB解析式为：y=x+．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴＝＝．
由题意： ＝，解得（舍去）∴Ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴
由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．
∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．
∴（1，）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝OM＝．
∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），（1，），（，），（，）．
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