:云南省2020年中考复习专题训练 圆的有关证明与计算

题型专项（九）圆的有关证明与计算
圆的证明与计算是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现．解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等．复习时应加以重视，在掌握解题方法的前提下，也要加大练习量．
【例】 （2019·昆明联考）如图，⊙O的半径OA＝4，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC＝∠OAB.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【思路点拨】 （1）要证明EF是⊙O的切线，只需要证得半径OB⊥EF即可；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，易证△AOD∽△ABC，从而由相似的性质求得AB的长度；
（3）由图可得S阴影＝S△AOB＋S△ABC－S扇形AOB.
【自主解答】 解：（1）证明： OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∠BAC＝∠OAB，
∴∠BAC＝∠OBA.
∴OB∥AC.
AC⊥EF，
∴OB⊥EF.
又 OB是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝AB，
∠OAD＝∠BAC，∠ODA＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC.
∴＝，即＝.
∴AB＝4.
（3） AB＝OB＝OA＝4，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB＝∠ABO＝60°.
OB⊥BC，
∴∠ABC＝30°.
∴BC＝AC＝2.
∴S阴影＝S△AOB＋S△ABC－S扇形OAB
＝×4×2＋×2×2－
＝6－π.
1．解决圆的相关问题，正确作出辅助线是解题的关键．
2．已知一条直线是圆的切线，则连接过切点的半径可得垂直．
3．证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：
（1）当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称&