:鲁教版九年级数学上册同步测试：）二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题（有答案）

等腰三角形直角三角形存在性问题
典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为,与y轴交于点.
(1)求出这个二次函数的解析式;
(2)直接写出点B的坐标为
(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.

答案详解


解:(1)的图象经过,,
,,
所求解析式为:,
答:这个二次函数的解析式是.

(2)解:,
故答案为:.

(3)解:在中,
,,,
,①当时在x轴的负半轴),;
②当时在x轴的正半轴),;
③当时在x轴的正半轴),;
④当时在x轴的正半轴),
在中,设,则
解得:,
;
答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.

(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,
即:Q点坐标为,
连接OQ,
,

,
,
,
Q点坐标为,
答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.
解析:
(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;
(2)把代入求出x的值,即可得到答案;
(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),,即可得出答案;
(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.
本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.

练习：
如图,已知抛物线与x轴交于点和点,与y轴交于点C.