:同角三角函数的基本关系(一)


1．2.2　同角三角函数的基本关系(一)
[学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值．

知识点　同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
思考　利用任意三角函数的概念推导平方关系和商数关系
答案　 sin α＝，cos α＝，x2＋y2＝r2，
∴sin2α＋cos2α＝＋＝＝1，
∴＝＝＝tan α(α≠kπ＋，k∈Z)，
∴sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.

题型一　知一求二
例1　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　 cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，∴cos α＝－，
sin α＝cos α＝－.
题型二　给值求值
例2　已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解　(