:江苏省镇江市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：必做

（镇江2018届高三年级第一次模拟考试）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22. (本小题满分10分)
如图，AC⊥BC，O为AB的中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.
(1) 求直线AD与CE所成角；
(2) 求二面角OCEB的余弦值．






23. (本小题满分10分)
某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．
(1) 求ξ1的数学期望；
(2) 求ξ2的分布列．

22. 解析：(1) 因为AC⊥CB，且DC⊥平面ABC，
则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)
因为AC＝BC＝BE＝2，
所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，
＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)．(2分)
所以cos〈，〉＝＝.(4分)
所以AD和CM的夹角为60°.

(2) 平面BCE的一个法向量为n＝(0，1，0)，设平面OCE的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)．(6分)
由＝(1，1，0)，＝(2，0，2)，n⊥，n⊥，
得则解得(8分)
令x0＝－1，则n＝(－1，1，1)．(9分)
因为二面角OCEB为锐角二面角，记为θ，
则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.(10分)
23. 解析：(1) 记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝1，2，3，4.(1分)
ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分)
则P(Ai)＝C，(3分)
即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，