:江苏省苏州市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：选做

（苏州市2018届高三（上）期末）21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BC，垂足为F.
求证：PF2＝PD·PE.


B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知M＝，β＝，求M4β.





C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．



D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．


21. A．解析：连结PB，PC.因为∠PCF，∠PBD分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，
所以∠PCF＝∠PBD.(2分)
因为PD⊥BD，PF⊥FC，
所以△PDB∽△PFC，所以＝.(5分)
同理∠PBF＝∠PCE.
又PE⊥EC，PF⊥FB，
所以△PFB∽△PEC，所以＝.(8分)
所以＝，即PF2＝PD·PE.(10分)
B. 解析：矩阵M的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－2λ－3.(2分)
令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，
所以属于λ1的一个特征向量为α1＝，属于λ2的一个特征向量为α2＝.(5分)
令β＝mα1＋nα2，即＝m＋n，
所以解得m＝4，n＝－3.(7分)
所以M4β＝M4(4α1－3α2)＝4(M4α1)－3(M4α2)
＝4(λα1)