:江苏省南通、泰州市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：导函数
1. （2018·南通泰州期末·10）若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为 .
2. （2018·南通泰州期末·19）已知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式；
（2）当时，若函数的最小值为，证明：.
【解】（1）因为，令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值.
因为，
由题意可知，且
所以，
化简得，
由，得.
所以，.
（2）因为，
所以
记，则，令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值，也是最小值，
此时，
.
令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值，也是最小值.
所以
.
令，则，
记，，
则，.
因为，，
所以，所以单调递增.
所以，
所以.
3. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知两曲线，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值为 ▲ ．
4. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
2、【解】（1）当时，．
所以，（x>0）． ……………&hel
2. （2018·南通泰州期末·19）已知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式；
（2）当时，若函数的最小值为，证明：.
【解】（1）因为，令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值.
因为，
由题意可知，且
所以，
化简得，
由，得.
所以，.
（2）因为，
所以
记，则，令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值，也是最小值，
此时，
.
令，解得.
列表如下.
极小值
所以时，取得极小值，也是最小值.
所以
.
令，则，
记，，
则，.
因为，，
所以，所以单调递增.
所以，
所以.
3. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知两曲线，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值为 ▲ ．
4. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
2、【解】（1）当时，．
所以，（x>0）． ……………&hel
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