:19中考数学总复习第二部分专题综合强化训练（共22套江西版）

第二部分 专题六 类型一
 
1．(2018•江西样卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2＋23mx＋n经过P(3，5)，A(0,2)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一个点P，使P点与A，C两点构成等边三角形？如果不存在，说明理由；如果存在，试求出它的坐标．
 
解：(1)根据题意得3m＋6m＋n＝5，n＝2，解得m＝13，n＝2.
∴抛物线的解析式为y＝13x2＋233x＋2.
(2)由y＝13x2＋233x＋2，得抛物线的顶点坐标为B(－3，1)．
依题意，可得C(－3，－1)，且直线l过原点．
设直线l的解析式为y＝kx，
则－3k＝－1，解得k＝33，
∴直线l的解析式为y＝33x.
(3)存在点P(－23，2)，使得△PAC为等边三角形．
如答图，连接AC，
∵A，B，C三点的坐标为(0,2)，(－3，1)，(－3，－1)，
∴AB＝OA＝2，OC＝2，AC＝23.
∴tan∠BAO＝32－1＝3，∠BAO＝60°.
又∵AB∥l ，BC平行于y轴，
∴四边形ABCO是菱形，∠CAO＝30°.
故要使△PAC为等边三角形，只要使∠PAC＝60°，PA＝AC.
过A点作x轴的平行线，交抛物线于点P，则有∠PAC＝60°.
∵抛物线的对称轴为x＝－3，A点的坐标为(0,2)，A点与P点关于对称轴对称，
∴PA＝23＝AC.即存在点P(－23，2)使得△PAC为等边三角形．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B.连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时