:2019中考数学专题强化训练--二次函数的综合探究（带答案）

第二部分　专题四
类型1　二次函数与特殊三角形的存在性问题
 
1．(2018•怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
 
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
即y＝ax2－2ax－3a，
∴－2a＝2，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0,3)，
设直线AC的解析式为y＝px＋q，
把A(－1,0)，C(0,3)代入得－p＋q＝0，q＝3，
解得p＝3，q＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1,4)，
如答图1，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，则B′(－3,0)，
∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x＋3，
当x＝0时，y＝x＋3＝3，
∴点M的坐标为(0,3)；
         
答图1　            　　答图2
(3)存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，
∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，
∴直线P1C的解析式可设为y＝－13x＋b，
把C(0,3)代入得b＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝－13x＋3，
解方程组y＝－x2＋2x＋3，y