:2020年常德市初中毕业生学业考试数学试卷及答案华师大版
考试注意：1．请考生在总分栏上面的座位号方格内工整地填写好座位号；
2．本学科试卷共六道大题，满分150分，考试时量120分钟；
3．考生可带科学计算器参加考试．
一、填空题（本大题8个小题，每个小题4分，满分32分）
1．的相反数是 ．
2．据统计，湖南省常德市2005年农业总产值达到24 800 000 000元，用科学记数法可表示为 元．
3．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．
4．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm，10cm，6cm，则等腰梯形的下底角为
度．
5．多项式与多项式的公因式是 ．
6．如图1，若，与分别相交于点的平分线与相交于点，且，则 度．
7．在半径为10cm的中，圆心到弦的距离为6cm，则弦的长是 cm．
的代数式（为正整数）表示数表中第
行第列的数： ．
二、选择题（本题中的选项只有一个是正确的，请你将正确的选项填在下表中，本大题8个小题，每小题4分，满分32分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
9．下列计算正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．图2是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
11．图3是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图，
若参加舞蹈类的学生有42人，则参加球类活动的学生人数有（ ）
Ａ．145人 Ｂ．147人
Ｃ．149人 Ｄ．151人
12．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17
6.18
6.19
6.20
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形;Ｄ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
14．已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
15．如图4，在直角坐标系中，的半径为1，
则直线与的位置关系是（ ）
Ａ．相离 Ｂ．相交
Ｃ．相切 Ｄ．以上三种情形都有可能
16．若用（1），（2），（3），（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a），（b），（c），（d）对应的图象排序：
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从地到地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开地的距离与时间的关系），其中正确的顺序是（ ）
Ａ．（3）（4）（1）（2） Ｂ．（3）（2）（1）（4）
Ｃ．（4）（3）（1）（2） Ｄ．（3）（4）（2）（1）
三、（本大题4个小题，每小题6分，满分24分）
17．计算：
18．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值．
19．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（4分）
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？（2分）
20．如图5，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点，且与反比例函数的图象相交于另一点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（4分）
（2）求点的坐标．（2分）
四、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
21．如图6，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度，斜坡的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端的仰角为，在山坡的坡顶处测得铁架顶端的仰角为．
（1）求小山的高度；（4分）
22．如图7，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．（4分）
五、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
23．在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动．八年级学生小青想了解她所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
分组
频数
频率
2
0.050
6
0.150
0.450
9
0.225
2
0.050
合计
40
1.000
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1） 补全频数分布表：（3分）
（2） 补全频数分布直方图；（2分）
（3） 这40户家庭收入的中位数落在哪一个小组？（2分）
（4） 请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？（3分）
24．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（5分）
（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？（5分）
六、（本大题2个小题，每小题13分，满分26分）
25．如图8，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上．（6分）
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小．（3分）
（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（4分）
26．把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．
（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．（2分）
（2）将三角板由图9所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中
，问的值是否改变？说明你的理由．（5分）
（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图10，图11供解题用）（6分）
2006年常德市初中毕业生学业考试试卷
数学参考答案及评分标准
说明：
（一）《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数，全卷满分150分．
（二）《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和本《答案》不同，可参照本答案中的标准给分．
（三）评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度者，视影响程度决定后面部分的得分，但原则上不超过后面部分应得分数的一半，如有严重的概念错误，就不给分．
一、填空题（本小题8个小题，每小题4分，满分32分）
1． 2． 3．或等
4． 5． 6． 7． 8．
二、选择题（本小题8个小题，每小题4分，满分32分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
Ｄ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ａ
三、（本小题4个小题，每小题6分，满分24分）
17．解：
··········································································· 3分
··························································································· 4分
································································································· 5分
········································································································· 6分
18．解：
··························································· 2分
···················································································· 4分
··································································································· 5分
当时，原式的值为．········································································· 6分
说明：只要，且代入求值正确，均可记满分6分．
19．解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为．············································································································· 4分
（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率，乙获胜的概率，，所以，游戏对双方是不公平的．···················································································································· 6分
20．解：（1）点在反比例函数的图象上．
即
又，在一次函数图象上．
即
反比例函数与一次函数解析式分别为：与·········· 4分
（2）由得，即
或于是或
点的坐标为········································································ 6分
四、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
21．解：（1）如图，过作垂直于坡底的水平线于点．
由已知，斜坡的坡比，于是
坡角······················································································· 2分
于是在中，
即小山高为25米·························································································· 4分
（2）设铁架的高．
在中，已知，于是
······················ 6分
在中，已知，
又
由，得
，即铁架高米························································ 8分
22．解：（1）猜想：··············································································· 1分
证明：在与中，
，，
···························································································· 4分
（2）由 可设，， 5分
连结，在中，由于，且
为正三角形
于是在中，
是直角三角形·········································································· 8分
五、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
23．解：（1）频数：18 频数：3， 频率：0.075································ 3分
（2）略·············································································································· 5分
（3）这40户家庭收入的中位数在这个小组（或答第三小组）········ 7分
（4）因为收入较低的频率为，所以该小区500户居民的家庭收入较低的户数为户．····················································································································· 10分
24．解：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元
依题意，得········································································ 3分
解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为元和元．······························ 5分
（2）设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台
则
解得：
为整数 为9，10，11········································································· 7分
故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9台，电风扇61台；
方案二：购进空调10台，电风扇60台；
方案三：购进空调11台，电风扇59台．··············· 8分
设这两种电器销售完后，所获得的利润为，则
由于随的增大而增大．
故当时，有最大值，
即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为元································ 10分
说明：如果将，，时分别代入中，通过比较得到获利最大的方案，同样记满分．
六、（本大题2个小题，每小题13分，满分26分）
25．解：（1），
，
又在中，，
的坐标为··········································································· 3分
又两点在抛物线上，
解得
抛物线的解析式为：········································ 5分
当时，
点在抛物线上··································································· 6分
（2）
抛物线的对称轴方程为·················· 7分
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小．
的长为定值 要使周长最小只需最小．
连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点．
设直线的解析式为．
由得
直线的解析式为
由得
故点的坐标为···························································· 9分
（3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧．
于是，过点作直线与抛物线交于点
由得
从而，
故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形．··
···························································································································· 13分
26．解：（1）8······································································································· 2分
（2）的值不会改变．········································································· 3分
理由如下：在与中，
即
······················ 5分
·················································· 7分
（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
由（2）知：得
于是
··········································································· 10分
情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，
由于，，易证：，
即解得
于是
综上所述，当时，
当时，
········································ 13分
说明：①未指明的范围，不扣分．
②上述情形2有多种解法，如：
法二：连结，并过作于点，在与中，
即
法三：过作于点，在中，
于是在与中
即
2．本学科试卷共六道大题，满分150分，考试时量120分钟；
3．考生可带科学计算器参加考试．
一、填空题（本大题8个小题，每个小题4分，满分32分）
1．的相反数是 ．
2．据统计，湖南省常德市2005年农业总产值达到24 800 000 000元，用科学记数法可表示为 元．
3．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．
4．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm，10cm，6cm，则等腰梯形的下底角为
度．
5．多项式与多项式的公因式是 ．
6．如图1，若，与分别相交于点的平分线与相交于点，且，则 度．
7．在半径为10cm的中，圆心到弦的距离为6cm，则弦的长是 cm．
的代数式（为正整数）表示数表中第
行第列的数： ．
二、选择题（本题中的选项只有一个是正确的，请你将正确的选项填在下表中，本大题8个小题，每小题4分，满分32分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
9．下列计算正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．图2是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
11．图3是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图，
若参加舞蹈类的学生有42人，则参加球类活动的学生人数有（ ）
Ａ．145人 Ｂ．147人
Ｃ．149人 Ｄ．151人
12．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17
6.18
6.19
6.20
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形;Ｄ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
14．已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
15．如图4，在直角坐标系中，的半径为1，
则直线与的位置关系是（ ）
Ａ．相离 Ｂ．相交
Ｃ．相切 Ｄ．以上三种情形都有可能
16．若用（1），（2），（3），（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a），（b），（c），（d）对应的图象排序：
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从地到地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开地的距离与时间的关系），其中正确的顺序是（ ）
Ａ．（3）（4）（1）（2） Ｂ．（3）（2）（1）（4）
Ｃ．（4）（3）（1）（2） Ｄ．（3）（4）（2）（1）
三、（本大题4个小题，每小题6分，满分24分）
17．计算：
18．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值．
19．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（4分）
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？（2分）
20．如图5，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点，且与反比例函数的图象相交于另一点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（4分）
（2）求点的坐标．（2分）
四、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
21．如图6，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度，斜坡的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端的仰角为，在山坡的坡顶处测得铁架顶端的仰角为．
（1）求小山的高度；（4分）
22．如图7，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．（4分）
五、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
23．在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动．八年级学生小青想了解她所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
分组
频数
频率
2
0.050
6
0.150
0.450
9
0.225
2
0.050
合计
40
1.000
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1） 补全频数分布表：（3分）
（2） 补全频数分布直方图；（2分）
（3） 这40户家庭收入的中位数落在哪一个小组？（2分）
（4） 请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？（3分）
24．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（5分）
（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？（5分）
六、（本大题2个小题，每小题13分，满分26分）
25．如图8，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上．（6分）
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小．（3分）
（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（4分）
26．把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．
（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．（2分）
（2）将三角板由图9所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中
，问的值是否改变？说明你的理由．（5分）
（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图10，图11供解题用）（6分）
2006年常德市初中毕业生学业考试试卷
数学参考答案及评分标准
说明：
（一）《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数，全卷满分150分．
（二）《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和本《答案》不同，可参照本答案中的标准给分．
（三）评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度者，视影响程度决定后面部分的得分，但原则上不超过后面部分应得分数的一半，如有严重的概念错误，就不给分．
一、填空题（本小题8个小题，每小题4分，满分32分）
1． 2． 3．或等
4． 5． 6． 7． 8．
二、选择题（本小题8个小题，每小题4分，满分32分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
Ｄ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ａ
三、（本小题4个小题，每小题6分，满分24分）
17．解：
··········································································· 3分
··························································································· 4分
································································································· 5分
········································································································· 6分
18．解：
··························································· 2分
···················································································· 4分
··································································································· 5分
当时，原式的值为．········································································· 6分
说明：只要，且代入求值正确，均可记满分6分．
19．解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为．············································································································· 4分
（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率，乙获胜的概率，，所以，游戏对双方是不公平的．···················································································································· 6分
20．解：（1）点在反比例函数的图象上．
即
又，在一次函数图象上．
即
反比例函数与一次函数解析式分别为：与·········· 4分
（2）由得，即
或于是或
点的坐标为········································································ 6分
四、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
21．解：（1）如图，过作垂直于坡底的水平线于点．
由已知，斜坡的坡比，于是
坡角······················································································· 2分
于是在中，
即小山高为25米·························································································· 4分
（2）设铁架的高．
在中，已知，于是
······················ 6分
在中，已知，
又
由，得
，即铁架高米························································ 8分
22．解：（1）猜想：··············································································· 1分
证明：在与中，
，，
···························································································· 4分
（2）由 可设，， 5分
连结，在中，由于，且
为正三角形
于是在中，
是直角三角形·········································································· 8分
五、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
23．解：（1）频数：18 频数：3， 频率：0.075································ 3分
（2）略·············································································································· 5分
（3）这40户家庭收入的中位数在这个小组（或答第三小组）········ 7分
（4）因为收入较低的频率为，所以该小区500户居民的家庭收入较低的户数为户．····················································································································· 10分
24．解：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元
依题意，得········································································ 3分
解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为元和元．······························ 5分
（2）设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台
则
解得：
为整数 为9，10，11········································································· 7分
故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9台，电风扇61台；
方案二：购进空调10台，电风扇60台；
方案三：购进空调11台，电风扇59台．··············· 8分
设这两种电器销售完后，所获得的利润为，则
由于随的增大而增大．
故当时，有最大值，
即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为元································ 10分
说明：如果将，，时分别代入中，通过比较得到获利最大的方案，同样记满分．
六、（本大题2个小题，每小题13分，满分26分）
25．解：（1），
，
又在中，，
的坐标为··········································································· 3分
又两点在抛物线上，
解得
抛物线的解析式为：········································ 5分
当时，
点在抛物线上··································································· 6分
（2）
抛物线的对称轴方程为·················· 7分
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小．
的长为定值 要使周长最小只需最小．
连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点．
设直线的解析式为．
由得
直线的解析式为
由得
故点的坐标为···························································· 9分
（3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧．
于是，过点作直线与抛物线交于点
由得
从而，
故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形．··
···························································································································· 13分
26．解：（1）8······································································································· 2分
（2）的值不会改变．········································································· 3分
理由如下：在与中，
即
······················ 5分
·················································· 7分
（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
由（2）知：得
于是
··········································································· 10分
情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，
由于，，易证：，
即解得
于是
综上所述，当时，
当时，
········································ 13分
说明：①未指明的范围，不扣分．
②上述情形2有多种解法，如：
法二：连结，并过作于点，在与中，
即
法三：过作于点，在中，
于是在与中
即
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