:湖州市南浔区2020年初三数学竞赛试卷华师大版
学校_________
学号_________ 班级_________ 姓名_________
考试时间为120分钟，总分为20分。
一、 选择题：（每小题5分，共30分）
1、 如果x-1+x-1=0，那么x的取值范围是（ ）
（A）x>1（B）x<1> 2、已知a=3555,b=4444,c=5333，则有（ ）
（A）a 3、设AB为⊙O的一条弦，CD为⊙O的一条直径，且与弦AB相交，记M=S△CAB-S△DAB,N=2S△OAB，则（ ）
（A）M>N（B）M=N（C）M
4、如图，点M是正方形ABCD的CD边上的中点，点P按A→B→C→M的顺序在正方形的边上运动，设AB=1，点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则y关于x的函数是（ ）
5、如图，⊙P的半径为3，且与x轴相交于点M（1，0），N（5，0）直线y=kx+-6恰好平分⊙P的面积，那么k的值是（ ）
（A）-2（B）2（C）-1（D）1
6、已知a,b,c三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数。如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3)，那么（ ）
（A）S是偶数（B）S是奇数（C）S的奇偶性与的奇偶性相同（D）S奇偶性不能确定
二、填空题：（每小题5分，共30分）
7、半径为r的三个圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，⊙O与这三个圆两两相切，则⊙O的半径为_________。
8、有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写出一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止。不管你开始写的数是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”。那么2005对应的“黑洞数”是________。
9、已知x,y满足下列条件：x+2y≤3,x≥0,y≥0,那么多项式2x+y能达到的最大值为__________。
10、设直线kx+(k+1)y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk(k=1,2,3…….,2008)，那么S1+S2+….+S2008=_________.
11、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，D是BC的中点，AC交⊙O于点E。已知，AB=，DE=，则AE=_________（用准确值表示）
12、如图，一个六边形的六个内角都是1200，连续四边的长依次是1、3、3、2。则该六边形的面积是________。
三、解答题：（每小题15分，共60分）
13、假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字，每一次投掷这个骰子，出现这8个数字的机会都是一样的。若将骰子投掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，蛇出现的数字中最大的一个用m表示，最小的一个用n表示。（1）令t=m-n，求t的取值范围；（2）求t=3的概率。
14、求使关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a。
15、如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，连结DE。如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。
16、如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P为AB上任意一点，Q为OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1。（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置。
部分答案：
一、 选择题：
1、 D 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A
二、填空题：
7、或 8、123 9、6 10、 11、 12、
三、解答题：
13、分析：（1）依次出现的数字中，最大的一个可能是M=1、2、3、4、5、6、7、8，最小一个N=1。T的取值范围是0、1、2、3、4、5、6、7。
（2）T=3意味着出现的点数是（不记顺序）（1，1，4），（1，2，4），（1，3，4），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，5），（2，4，5），（2，5，5），（3，3，6），（3，4，6），（3，5，6），（3，6，6），（4，4，7），（4，5，7），（4，6，7），（4，7，7），（5，5，8），（5，6，8），（5，7，8），（5，8，8）共20种。骰子投掷三次，可能出现的情况有8*8*8=512种。所以概率为P=
14、设x1,x2是原方程的两个实数根，则有x1+x2=，也是整数。因为a是整数。所以a-1也整数。于是必是整数。a=-3,-2,0,1.把a=-3,-2,0,1.都带入方程里面去检验，得到只有是0或1。
15、分析：由AD=DE来判断出AB=AC。
过D作DF∥BC，且使DF=BC，连结CF、EF，则四边形BDFC为平行四边形。可以得出△ADE≌△CEF，△DEF为等边三角形。所以得到∠BAC=1000。
16、分析：（1）作B点关于AC的对称点B/，作点O关于AB的对称点O/，连结AB/，QB/，AO/，PO/，B/O/，则QB=QB/。OP=O/P。
折线OPQB的长=OP+PQ+QB= O/P +PQ+ QB/ 所以折线OPQB的长的最小值为B/O/ 计算得最小值为2。
（2）设B/O/交AC于点Q/，在直角三角形AO/B/中，AO/=1，B/O/=2，所以∠AB/O/=300，则∠AO/B/=600。在△AO/Q/中，∠Q/AO/=∠Q/AB+∠BAO/=600，所以△AQ/O/是等边三角形。所以AQ/=AO/=1=AO，所以点Q/就是AC 的中点。所以折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点。
考试时间为120分钟，总分为20分。
一、 选择题：（每小题5分，共30分）
1、 如果x-1+x-1=0，那么x的取值范围是（ ）
（A）x>1（B）x<1> 2、已知a=3555,b=4444,c=5333，则有（ ）
（A）a 3、设AB为⊙O的一条弦，CD为⊙O的一条直径，且与弦AB相交，记M=S△CAB-S△DAB,N=2S△OAB，则（ ）
（A）M>N（B）M=N（C）M
4、如图，点M是正方形ABCD的CD边上的中点，点P按A→B→C→M的顺序在正方形的边上运动，设AB=1，点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则y关于x的函数是（ ）
5、如图，⊙P的半径为3，且与x轴相交于点M（1，0），N（5，0）直线y=kx+-6恰好平分⊙P的面积，那么k的值是（ ）
（A）-2（B）2（C）-1（D）1
6、已知a,b,c三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数。如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3)，那么（ ）
（A）S是偶数（B）S是奇数（C）S的奇偶性与的奇偶性相同（D）S奇偶性不能确定
二、填空题：（每小题5分，共30分）
7、半径为r的三个圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，⊙O与这三个圆两两相切，则⊙O的半径为_________。
8、有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写出一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止。不管你开始写的数是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”。那么2005对应的“黑洞数”是________。
9、已知x,y满足下列条件：x+2y≤3,x≥0,y≥0,那么多项式2x+y能达到的最大值为__________。
10、设直线kx+(k+1)y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk(k=1,2,3…….,2008)，那么S1+S2+….+S2008=_________.
11、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，D是BC的中点，AC交⊙O于点E。已知，AB=，DE=，则AE=_________（用准确值表示）
12、如图，一个六边形的六个内角都是1200，连续四边的长依次是1、3、3、2。则该六边形的面积是________。
三、解答题：（每小题15分，共60分）
13、假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字，每一次投掷这个骰子，出现这8个数字的机会都是一样的。若将骰子投掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，蛇出现的数字中最大的一个用m表示，最小的一个用n表示。（1）令t=m-n，求t的取值范围；（2）求t=3的概率。
14、求使关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a。
15、如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，连结DE。如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。
16、如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P为AB上任意一点，Q为OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1。（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置。
部分答案：
一、 选择题：
1、 D 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A
二、填空题：
7、或 8、123 9、6 10、 11、 12、
三、解答题：
13、分析：（1）依次出现的数字中，最大的一个可能是M=1、2、3、4、5、6、7、8，最小一个N=1。T的取值范围是0、1、2、3、4、5、6、7。
（2）T=3意味着出现的点数是（不记顺序）（1，1，4），（1，2，4），（1，3，4），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，5），（2，4，5），（2，5，5），（3，3，6），（3，4，6），（3，5，6），（3，6，6），（4，4，7），（4，5，7），（4，6，7），（4，7，7），（5，5，8），（5，6，8），（5，7，8），（5，8，8）共20种。骰子投掷三次，可能出现的情况有8*8*8=512种。所以概率为P=
14、设x1,x2是原方程的两个实数根，则有x1+x2=，也是整数。因为a是整数。所以a-1也整数。于是必是整数。a=-3,-2,0,1.把a=-3,-2,0,1.都带入方程里面去检验，得到只有是0或1。
15、分析：由AD=DE来判断出AB=AC。
过D作DF∥BC，且使DF=BC，连结CF、EF，则四边形BDFC为平行四边形。可以得出△ADE≌△CEF，△DEF为等边三角形。所以得到∠BAC=1000。
16、分析：（1）作B点关于AC的对称点B/，作点O关于AB的对称点O/，连结AB/，QB/，AO/，PO/，B/O/，则QB=QB/。OP=O/P。
折线OPQB的长=OP+PQ+QB= O/P +PQ+ QB/ 所以折线OPQB的长的最小值为B/O/ 计算得最小值为2。
（2）设B/O/交AC于点Q/，在直角三角形AO/B/中，AO/=1，B/O/=2，所以∠AB/O/=300，则∠AO/B/=600。在△AO/Q/中，∠Q/AO/=∠Q/AB+∠BAO/=600，所以△AQ/O/是等边三角形。所以AQ/=AO/=1=AO，所以点Q/就是AC 的中点。所以折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点。
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