:2020河北中考数学分层刷题训练 专题三 几何图形的变化与探究

专题三几何图形的变化与探究
 直线型问题 
例1 (2019，河北三模)在正方形ABCD中，P是射线CB上一个动点．连接PA，PD，M，N分别为BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q.
(1)如图①，当点P与点B重合时，△QPM的形状是 等腰直角三角形 ；
(2)当点P在线段CB的延长线上时，如图②.
①依题意补全图②；
②判断△QPM的形状并加以证明；
(3)点P′与点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′.若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路．
(可以不写出计算结果)
例1题图
解：(1)等腰直角三角形
(2)①如答图①所示．
②△QPM是等腰三角形．
证明：如答图①，延长BC至点E，使CE＝BP，连接AE.
PB＝CE，∴PB＋BC＝CE＋BC，即CP＝BE.
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
在△DCP和△ABE中，
∴△DCP≌△ABE.∴∠1＝∠E.
M为BC的中点，
∴MB＝MC.
∴MB＋BP＝MC＋CE，即MP＝ME.
∴M为PE的中点．
N为AP的中点，∴NM∥AE.∴∠2＝∠E.
∴∠1＝∠2.∴QP＝QM.
∴△QPM是等腰三角形．
(3)求解思路如下：a. 由题意画出图形，并延长BC至点F，使CF＝BP，连接AF，如答图②；
b. 由(1)可得QM∥AF，可证＝；
c. 由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，则＝；
d. 可得＝；
e. 由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′＝BP＝CF，设BP′＝BP＝CF＝x，由AD＝BC＝2，可分别表示P′M，MF，P′P的长，可求BP的长．
例1答图
针对训练1 (2019，唐山丰润区一模) (1)某数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO∶CO