:2020河北中考数学分层刷题训练 专题六 运动问题

专题六运 动 问 题
例1 (2019，长春)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15.点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连接PQ，以PN，PQ为邻边作▱PQMN.设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t s.
(1)①AB的长为 25 ；
②PN的长用含t的代数式表示为 3t ；
(2)当▱PQMN为矩形时，求t的值；
(3)当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
(4)当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边的中点时，直接写出t的值．
例1题图
解：(1)①25 ②3t
(2)当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°.
PN⊥AB，∴PQ∥AB.∴＝.
∴＝.解得t＝.
∴当▱PQMN为矩形时，t＝.
(3)当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况．
Ⅰ. 如答图①，▱PQMN完全在三角形内部，延长QM交AB于点G.
由(1)可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15－5t，PN＝QM＝3t.
∴AN＝AP·cos A＝4t，BG＝BQ·cos B＝9－3t，QG＝BQ·sin B＝12－4t.
▱PQMN在三角形内部，
∴0＜QM≤QG.∴0＜3t≤12－4t.∴0＜t≤.
NG＝25－4t－(9－3t)＝16－t，
∴当0＜t≤时，S＝S▱PQMN＝PN·NG＝3t·(16－t)＝－3t2＋48t.
Ⅱ. 如答图②，▱PQMN部分在三角形内部．
当0＜QG＜QM时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN，即0＜12－4t＜3t，解得＜t＜3.
此时S＝S梯形PQGN＝NG＝(16－t)(3t＋12－4t)＝t2－14t＋96.