:中考数学专项训练之辅助圆思想

中考专项训练之辅助圆思想
题型一：共顶点等线段
【例1】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
⑴ 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
⑵ 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（北京中考节选）
【解析】 ⑴ 图略，．
⑵ 如图，连接，
根据对称性可知，，
以为圆心、长为半径作，
则，
∴．
【例2】 已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．

⑴ 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是
___________，此时________；
⑵ 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；
（海淀一模）
【解析】 ⑴ 等边三角形，1；
⑵ 证明：连接、．
由题意，得，，．
、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．
∴．
为中点，∴在中，．
在中，．
∴．
∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
又 ，∴．
∴．∴．
由题意，，又．
∴．∴．
在Rt中，．
题型二： 共斜边的直角三角形 ， ∴．∴．
【例3】 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
【解析】 与的数量关系是相等 ．
常规证法：过点作，，垂足分别为点．
，易得，∴，
而，∴．
是的平分线，∴，
又 ，∴．∴．
辅助圆证法： ，∴四点共圆，
平分，∴，
∴．
【例4】 如图