:人教版数学 九年级中考专题-等腰三角形的存在性问题

动点问题之等腰三角形
例1. 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a、b、c 是常数，a≠0）的对称轴为 y 轴，且经过
(0,0)和 (,) 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的⊙P 总经过定点
A(0, 2)．
（1）求 a、b、c 的值；
（2）求证：在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与 x 轴相交；
（3）设⊙P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)（x2 >x1）两点，当△AMN 为等腰三角形时， 求圆心 P 的纵坐标．
图 1
例2. 如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA、OC 在坐标轴的正半轴上，BC//x 轴，OA＝OC
＝4，以直线 x＝1 为对称轴的抛物线经过 A、B、C 三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线 l 的解析式为 y＝x＋m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取 点 P．
①如图 1，当 m＝0 时，点 P 是抛物线的对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH⊥直线 l 于 点 H，连结 OP，试求△OPH 的面积；
②如图 2，当 m＝－3 时，过点 P 作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足分别为 E、F．是否存在 这样的点 P，使以 P、E、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．
图 1 图 2
例3. 如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝8，cosB＝ ，点 P 是边 BC 上
的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线
CE 与射线 BA 交于点 G．
（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；
（2）连结 AP，当 AP//CG 时，求弦 EF 的长；
（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长．
图 1 备用图