:江苏省苏州市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：导函数

1. （2018·苏州期末·20）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若方程在区间(0,+¥)上有实数解，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数，且，使得，求证：．
【答案】解（1）当时，
当时，，则，
令，解得或（舍），所以时，，
所以函数在区间上为减函数. 2分
当时，，，
令，解得，当时，，当时，，
所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
且. 4分
综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．
5分
（注：将单调减区间为和写出的扣1分）
（2）设，则，所以，
由题意，在区间上有解，
等价于在区间上有解. 6分
记，
则， 7分
令，因为，所以，故解得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数在处取得最小值. 9分
要使方程在区间上有解，当且仅当，
综上，满足题意的实数a的取值范围为. 10分
（3）由题意，，
当时，，此时函数在上单调递增，
由，可得，与条件矛盾，所以. 11分
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
若存在，，则介于m，n之间， 12分
不妨设，
因为在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时，，
由，，可得，故，
又在上单调递减，且，所以．
所以，同理． 14分
即解得，
所以. 16分
2. （苏州2017届高三上学期期末）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．
【答案】解：（1） f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0， =lnx﹣k，
①当k≤0时