:江苏省苏州市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：必做

（苏州市2018届高三（上）期末）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.
(1) 求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；
(2) 线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．



23. (本小题满分10分)
在正整数集上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2.
(1) 求证：f(3)－f(2)＝；
(2) 是否存在实数a，b，使f(n)＝＋1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．


22. 解析：(1) 因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP＝AB，BP⊥AB，所以BP⊥平面ABCD.又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直， 以B为原点，分别以BA，BP，BC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．
因为BC⊥平面ABPE，所以＝(0，0，1)为平面ABPE的一个法向量．(2分)
＝(2，－2，1)，＝(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则 即令y＝1，则z＝2，故n＝(0，1，2)．(4分)
设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，
显然0<θ<，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(6分)
(2) 设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.
设＝λ＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分)
由(1)知平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，2)，
所以cos〈，n〉＝＝＝，
即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(