:小专题(六)　构造全等三角形的方法技巧

小专题(六)　构造全等三角形的方法技巧
方法1　利用“角平分线”构造全等三角形
【方法归纳】　因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
(1)在角的两边截取两条相等的线段；
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.

证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，
在△ABE和△FBE中，

∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE＝∠BFE.
AB∥CD，
∴∠BAE＋∠CDE＝180°.
∴∠BFE＋∠CDE＝180°.
∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠CDE.
在△FCE和△DCE中，

∴△FCE≌△DCE.
∴CF＝CD.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.


2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.

证明：过点P作PE⊥OA于点E，
PF⊥OB于点F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
OM是∠AOB的平分线．
∴PE＝PF.
∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，

∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.

方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形
【方法归纳】　截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类