:江苏省海安市2019届高三期中学业质量 监测化学


试题解析：
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及存在性问题和分段函数和分类讨论思想，属中高档题，曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．
【解答】
解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，
则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，
即-t2+f(t)(t3+t2）=0 ①．
若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜e，则f（t）=-t3+t2代入①式得：
-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，
即t4-t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，
此时f（t）=alnt，代入①式得：
-t2+（alnt）（t3+t2）=0，
即=（t+1）lnt ②，
令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
则h′（x）=lnx+1+＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，
∵t≥e，∴h（t）≥h（e）=e+1，
∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．
∴对于0＜a≤，方程②总有解，即方程①总有解．
故答案为.