:初二奥林匹克整数的整除的常用判别方法

1、关于整除的若干性质

性质1：如果ab，bc，那么ac。如28，824，224。

性质2：k是任意整数，若ba，则bka。如26，5是整数且5×6=30，则230。

性质3：如果ab，ac，那么a(b±c)。如26，28，必有2（6±8）。

性质4：如果mab，（m，a）=1，那么mb。如39×7，（3，7）=1，必有39。

注：我们用符号（m，a）表示m，a两数的最大公约数。如果（m，a）=1，那么称m，a两数互质。[a，b]表示a，b两数的最小公倍数。

性质5：如果ac，bc，且（a，b）=1，那么abc。如321，721，且（3，7）=1。必有3×7=2121

性质6：如果am，bm，那么[a，b]m。

例1 如果n是自然数，n3＋11n必能被6整除。

【分析】n3＋11n是关于n的多项式，可通过多项式的变形，达到其被6整除的目的。

【解】n3＋11n=

n3－n＋12n = n(n2－1)＋12n = (n－1)n(n＋1)＋12n

因为(n－1)，n，(n＋1)是三个连续的自然数，所以必有一个是偶数，且必有一个是3的倍数，(n－1)n(n＋1)可被2与3的乘积6整除，而12n显然可被6整除。所以n3＋11n必能被6整除。

【评注】此题中，我们同时证明了三个连续自然数的乘积必能被6整除。