:中考数学专题训练 代数与几何综合题

代数与几何综合题

类型一动点型探究题

1。如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s。以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E。设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题：

(1)用含有t的代数式表示AE＝____；

(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；

(3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．

第1题图

解：(1)5－t；

【解法提示】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴由勾股定理得：AB＝10cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝AP＝5－t。

(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos∠BAC＝＝，

即＝，解得t＝，

∴当t＝时，四边形AQPD是菱形；

(3)如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S。

PM∥BC，

∴△APM∽△ABC，

∴＝，即＝，

∴PM＝(5－t)，

∴S＝AQ·PM＝2t·(5－t)＝－t2＋12t=(0＜t≤4)，

－＜0，∴当t＝时，S有最大值，最大值为15cm2。

第1题解图

2。已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；

(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当DE的长度为时，求∠BFE的度数．

第2题图