:【中考专项复习】几何中线段的最值问题解法研究

【中考专项复习】几何中线段的最值问题解法研究
【回归概念】
常见的几何中线段的最值问题有：利用两点之间线段最短求最短路径或线段的最小值，利用垂线段最短求解，利用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）当三点共线时取得值最小或最大；问题的模型主要有以下几种：

【规律探寻】

【典例解析】
例题1：（2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°，
tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
例题2：（2019•湖北武汉•3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　2　．

【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得