:2020学年人教A版高三数学选修4-5 比较法 学案

课堂探究

1．作差比较法证明不等式的一般步骤

剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．

(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．

(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断差的正负号．

(4)结论：根据差的正负号下结论．

知识拓展 若差式的符号不能确定，一般是与某些字母的取值有关时，则需对这些字母进行讨论．

2．作商比较法中的符号问题的确定

剖析：在作商比较法中，＞1b＞a是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b＞0，由＞1，可得b＞a，但若a，b＜0，则由＞1得出的反而是b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断．否则，结论可能是错误的．

名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明．

题型一 利用作差比较法证明不等式

【例1】已知a≥1，求证：－＜－。

分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．

证明：∵(－)－(－)

＝－

＝＜0，

∴－＜－。

反思 根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，都小于0时要改变不等号。

题型二 利用作商比较法证明不等式

【例2】已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋。

分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．

证明：∵＝＋＝＋

＝＝，

又∵a2＋b2≥2ab，

∴≥＝1，

当且仅当a＝b＞0时取等号．∴＋≥＋。

反思 作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧。

题型三 比较法在综合题目中的应用

【例3】已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)．

(1)证明数列{an＋1}是等比数列； <