:高一上学期期末调研考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1．已知集合U=R，P={1，2，3，4}，Q=则 = （ ）
A．{1} B．{1，2} C．{3，4} D．{2，3，4}
2．若实数a，b，c成等比数列，那么关于x的方程 （ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实根 D．至少有一个实根
3．a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．±1
4．已知p是r的充分条件，r是s的充分不必要条件，q是s的充要条件，那么p是q成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若a>0，函数反函数的图象必过定点P，则P点坐标为（ ）
A．（－1，2） B．（2，－1） C．（3，－2） D．（－2，3）
6．等比数列的值为 （ ）
A． B． C．2 D．
7．将含有k项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则k值为 （ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
8．数列的值是 （ ）
A．－3 B．－4 C．－5 D． 2
9．数列、，则数列的前10项和为 （ ）
A． B． C． D．
10．数列中，Sn是其前n项和，a1=1，则数列是 （ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．常数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
12．命题p：函数的值域为R，则－4 命题q：函数的定义域为，则
（ A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若
14．若m是m+n与n的等差中项，n是m与mn的等比中项，则
15．函数的单调增区间是
.
16．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列，且公积为6，则___________.且这个数列前18项之和S18=
.
三、解答题（共74分）
17．（12分）已知售合A=
（1）求实数a的取值范围；
（2）若B∩C=φ，B∪C=R，求实数b，c的值.
18．（12分）已知函数
（1）求的定义域；
（2）求使的取值范围.
19．（12分）已知数列是等比数列，公比是其前n项和，若a1、a7、a4成等差数列.
（1）求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列；
（2）若a1=3，bn=求数列的前n项和Tn.
20．（12分）已知函数对一切实数x，y都满足
（1）求的值； （2）求的解析式；
（3）当恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）某企业2004年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年（2005年）起每年比上年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500万元.
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为Sn万元，进行技术改造后的累计纯利润为Tn万元（须扣除技术改造资金），求Sn、Tn表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不改造的累计纯利润？
22．（14分）已知函数
（1）求
（2）设，求通项an；
（3）设是否存在最小正整数m，使得对任意有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
高一数学试题参考答案
一、1.C 2.C 3.C
4.A 5.B 6.B
7.A 8.A 9.B
10.D 11.A 12.D
7．提示：设Sk为原数列的和，Sk+2为新数列的和，则
∴k+2=22 ∴k=20
8．an为周期6的数列，即2，5，3，－2，－5，－3，2，5，…
10．Sn+1－Sn=3Sn
∴Sn+1=4Sn a1=S1=1 ∴Sn=4n－1 a1=1，a 2=3，a 3=12，a 4=48.…
故既非等差数列又非等比数列.
12．若的值域为R，则的值域为一切正实数，
即
故p假，而q为真
二、13．
14．2 由题意有mn≠0，
15．
16．a18=3，S18=45（每空2分）
三、17．
（1）∵ …………6分
（2）∵B∩C=φ，B∪C=R ∴ ∴b=1，c=0 ……12分
18．（1）由 即定义域为（－2，2）. …………6分
（2）由 即x的取值范围为 ……12分
19．∵a1，a7， a4成等差数列 ∴a1+
a4=2 a7，
即
∴ …………3分
（1）
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列 ………………8分
（2）
…………12分
20．（1）令x=1，y=0得：（4分）
（2）令y=0得： …………8分
（3）由（2）知： 即
令
∵
故a>1 ……………………12分
21．依题意得：Sn=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2 …………3分
……6分
当
∴仅当n≥4时，Tn＞Sn
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. ……………………12分
22．（1）令
∴ ………………4分
（2） ∴
则数列是公差为4的等差数列，又
∴ ………………8分
∴
（3）∵
∴
∵ …………10分
即恒成立
而，
∴
∴存在最小正整数m=33使恒成立 …………14分
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若
14．若m是m+n与n的等差中项，n是m与mn的等比中项，则
15．函数的单调增区间是
.
16．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列，且公积为6，则___________.且这个数列前18项之和S18=
.
三、解答题（共74分）
17．（12分）已知售合A=
（1）求实数a的取值范围；
（2）若B∩C=φ，B∪C=R，求实数b，c的值.
18．（12分）已知函数
（1）求的定义域；
（2）求使的取值范围.
19．（12分）已知数列是等比数列，公比是其前n项和，若a1、a7、a4成等差数列.
（1）求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列；
（2）若a1=3，bn=求数列的前n项和Tn.
20．（12分）已知函数对一切实数x，y都满足
（1）求的值； （2）求的解析式；
（3）当恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）某企业2004年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年（2005年）起每年比上年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500万元.
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为Sn万元，进行技术改造后的累计纯利润为Tn万元（须扣除技术改造资金），求Sn、Tn表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不改造的累计纯利润？
22．（14分）已知函数
（1）求
（2）设，求通项an；
（3）设是否存在最小正整数m，使得对任意有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
高一数学试题参考答案
一、1.C 2.C 3.C
4.A 5.B 6.B
7.A 8.A 9.B
10.D 11.A 12.D
7．提示：设Sk为原数列的和，Sk+2为新数列的和，则
∴k+2=22 ∴k=20
8．an为周期6的数列，即2，5，3，－2，－5，－3，2，5，…
10．Sn+1－Sn=3Sn
∴Sn+1=4Sn a1=S1=1 ∴Sn=4n－1 a1=1，a 2=3，a 3=12，a 4=48.…
故既非等差数列又非等比数列.
12．若的值域为R，则的值域为一切正实数，
即
故p假，而q为真
二、13．
14．2 由题意有mn≠0，
15．
16．a18=3，S18=45（每空2分）
三、17．
（1）∵ …………6分
（2）∵B∩C=φ，B∪C=R ∴ ∴b=1，c=0 ……12分
18．（1）由 即定义域为（－2，2）. …………6分
（2）由 即x的取值范围为 ……12分
19．∵a1，a7， a4成等差数列 ∴a1+
a4=2 a7，
即
∴ …………3分
（1）
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列 ………………8分
（2）
…………12分
20．（1）令x=1，y=0得：（4分）
（2）令y=0得： …………8分
（3）由（2）知： 即
令
∵
故a>1 ……………………12分
21．依题意得：Sn=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2 …………3分
……6分
当
∴仅当n≥4时，Tn＞Sn
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. ……………………12分
22．（1）令
∴ ………………4分
（2） ∴
则数列是公差为4的等差数列，又
∴ ………………8分
∴
（3）∵
∴
∵ …………10分
即恒成立
而，
∴
∴存在最小正整数m=33使恒成立 …………14分
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