:2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第十二章_第二节_不等式证明

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A级基础夯实练

1．(2018·广西南宁测试)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4；

(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|a－b|＜|ab＋2a＋2b|。

解：(1)当x＜－3时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－4＜4，解得x＞－4，所以－4＜x＜－3；

当－3≤x＜－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1＋x＋3＝2＜4恒成立，所以－3≤x＜－1；

当x≥－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝x＋1＋x＋3＝2x＋4＜4，解得x＜0，所以－1≤x＜0。

综上，不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4的解集为{x|－4＜x＜0}．

(2)4(a－b)2－(ab＋2a＋2b)2＝－(a2b2＋4a2b＋4ab2＋16ab)＝－ab(b＋4)(a＋4)＜0，

所以4(a－b)2＜(ab＋2a＋2b)2，

所以2|a－b|＜|ab＋2a＋2b|。

2．(2018·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R。

(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；

(2)当x∈(－1，0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝

当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；

当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；

当x＞1时，x＜1，无解．

综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．

(2)当x∈(－1，0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，

∵3x＞－3，－x＜1，

∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3，1)．

3．(2018·安徽安师大附中阶段性检测)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m。

(1)求m；

(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．

解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；