:高考数学(理)冲刺大题提分(讲义、练习)大题精做12_函数与导数：存在、恒成立与最值问题(理)

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函数与导数：存在、恒成立与最值问题



大题精做十二






精选大题



[2019·广州一模]已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，记的最小值为，求证．
【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，的定义域是，
，
当时，；当时，．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：由（1）得的定义域是，，
令，则，在上单调递增，
因为，所以，，
故存在，使得．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故时，取得最小值，即，
由，得，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
故，即时，取最大值1，．
模拟精做


1．[2019·青海联考]已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．



2．[2019·咸阳模拟]设函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：当时，．




3．[2019·东莞期末]已知函数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．


答案与解析


1．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．
，
整理得，即．
令，易知在上单调递增，且；
所以的解集为，所以．
2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，，令