:2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第14章_选修部分_72_word版含解析

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【课时训练】第72节 证明不等式的基本方法
解答题
1．(2018广州五校联考)已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.
(1)求t的值；
(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.
(1)【解】因为|x＋3|＋|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.
(2)【证明】由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.
2．(2018湖北八校联考)设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0> (1)证明：<；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
(1)【证明】记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0 br=>所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.
(2)【解】由(1)得a2<，b2<.
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.
3．(2018广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2> (1)求实数m的值；
(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.
【解】(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.
要使不等式|x－m|＋|x|<2 br=>因为m∈N*，所以m＝1.
(2)因为α，β≥1，f(x)＝2x－1(x≥1)，
所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以＋＝(α＋β)＝≥＝3.(当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立)故＋≥3.
4．(2018武昌质检)已知x，y∈R，且|x|<1> 【证明】∵≤＝≤＝1－|xy|，∴＋≥≥，
∴原不等式成立．
5．(2018长沙一模)设α，β，γ均为实数．
(1)证明：|cos (α＋β)|≤|cos α|＋|sin β