:2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4

随堂巩固训练(12)

1。已知矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝。求矩阵A的逆矩阵．

2。已知矩阵A＝，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵A的特征值．

3。若矩阵A有特征向量i＝和j＝，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1。

(1)求矩阵A及其逆矩阵A－1；

(2)求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；

(3)对任意向量α＝，求A100α。

4。设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．

(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；

(2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下得到的新曲线的方程．

答案与解析随堂巩固训练(12)

1。解析：由矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6×，即c＋d＝6；

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，解得即A＝，

所以矩阵A的逆矩阵是。

2。解析：(1)由＝，得a＋1＝－8，

所以a＝－9。

(2)由(1)知A＝，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为－2或4。

3。解析：(1)设矩阵A＝，那么根据题意可得＝2×，即

＝－1×，即

故矩阵A＝，逆矩阵A－1＝。

(2)逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝，属于特征值λ′1的一个特征向量可以取m＝，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n＝。

(3)由于α＝＝x＋y＝xi＋yj，