:2019届高三数学复习--立体几何与空间向量--立体几何集训（附答案）

 
 基础过关
1.如图X13-1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC的中点,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)证明:A1O⊥平面ABC;
(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.
 
图X13-1

2.在如图X13-2所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°.
(1)证明:BD⊥平面ACDE;
(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值.
 
图X13-2

3.如图X13-3所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1⊥平面ABCD,M为棱DD1的中点,N为棱AD的中点,Q为棱BB1的中点.
(1)证明:平面MNQ∥平面C1BD;
(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一点P,且 =λ (λ∈(0,1)),使得二面角P-MN-Q的余弦值为 ,求λ的值.
 
图X13-3

4.如图X13-4①所示,四边形ABCD是一个直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,E为BC上一点,AE,BD相交于点O,AD=EC=3,BE=1,AB= .将△ABE沿AE折起,使平面ABE⊥平面ADCE,得到如图X13-4②所示的四棱锥B-AECD.
(1)求证:CD⊥平面BOD;
(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值.
 
①
 
②
图X13-4

5.如图X13-5所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,EB=2FD= a.
(1)求证:EF⊥AC;
(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.
 
图X13-5

6.如图X13-6①所示,在等腰直角三角形SAB中,SA=