:全国初中数学竞赛试题

全国初中数学竞赛试题

一、选择题：

1、已知实数a≠b，且满足(a+1)2=3-3(a+1)，3(b+1)=3-(b+1)2 。则b +a 的值为（  ）

A、23；  B、-23； C-2；  D-13

2、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（

）

A、ab=h ； B、+= ； C、+= ； D、a2 +b2=2h2

3、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）

A、只有a； B、只有b； C、只有c； D、只有a和b

4、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB

的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面

积为2，则△CFG的面积S=（ ）

A、6；  B、8；  C、10；  D、12

5、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0，那么x+y等于（

）

A、3；  B、； C、；  D、4-

二、填空题：

6、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=600，则∠EDC=_____________（度）。

7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为      次（用t表示）。

8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5

，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=    。

9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=900，

BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE的长度为

。

10、实数x、y、z满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z的最大值是  。

三、解答题：

11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。

12、已知a、b是实数 ，关于x、y的方程组 有整数解 ，求a、b满足的关系式。

13、D是△ABC的边AB上的一点 ， 使得AB=3AD

， P是△ABC外接圆上一点 ， 使得 ∠ADP=∠ACB，求的值。

14、已知a＜0 ， b≤0 ，c＞0 ， 且 =b-2ac ， 求b2-4ac的最小值。