:【2020中考数学专项复习】圆周角模型

: 【中考专项复习】关于圆心角与圆周角的关系
【回归课本】
定理内容：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【解析】 ∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又 OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.

【思路导引】本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.
解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC=∠AOC仍然成立.
(1)对图(2)的情况,连结BO并延长交圆O于点D,
由题图(1)知:∠ABD=∠AOD,
∠CBD=∠COD.
∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD,
即∠ABC=∠AOC.
(2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.
【规律归纳】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理，了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
【典例解析】
【例题1】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．
【思路导引】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，由已知条件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：
∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠