:2020版二轮复习数学(文)通用版：专题检测(二十一)“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略

专题检测（二十一） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略

1、(2018·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．

(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；

(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－2＜x＜2)上，求|AB|的最大值．

解：(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4m＝0，

Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，则kOA·kOB＝由已知kOA·kOB＝－，得m＝1，满足Δ＞0，∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0，1)．

(2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k，y0＝kx0＋m＝2k2＋m，将M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得2k2＋m＝4－×(2k)2，∴m＝4－3k2。－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜，Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－＜k＜，

故k的取值范围是(－，)．∴|AB|＝·＝·＝4·≤4·＝6，当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号，∴|AB|的最大值为6。

2．(2018·石家庄质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．

(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长；

(2)当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得·为定值？并说明理由．