:2020年中考数学真题分类汇编第三期专题42综合性问题试题含解析

: 综合性问题
一.选择题
1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（  ）
A． B．3 C． D．5
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【解答】
解：
过点D做DF⊥BC于F
由已知，BC=5
四边形ABCD是菱形
∴DC=5
BE=3DE
∴设DE=x，则BE=3x
∴DF=3x，BF=x，FC=5﹣x
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2
∴（3x）2+（5﹣x）2=52
∴解得x=1
∴DE=3，FD=3
设OB=a
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）
点D.C在双曲线上
∴1×（a+3）=5a
∴a=
∴点C坐标为（5，）
∴k=
故选：C．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
2 （2018·湖北咸宁·3分）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①③④
【解析】【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；
②以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A.B.C都在⊙O上，根据四