:中考数学一元二次方程根与系数的关系应用例析及练习

: 中考数学一元二次方程根与系数的关系应用例析及练习
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解： 方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； 方程（2）没有实数根， ∴
解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解