:中考数学反比例函数与三角形综合题专训

: 中考数学反比例函数与三角形综合题专训
一、反比例函数与等腰三角形结合
试题１、如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y=，得k=4．
解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=OCAR+OCPS
=×3×4+×3×1=，
∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y=，
设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立，解得直线PA的方程为y=x+﹣1，
联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠