:2020届中考数学知识点《几何探究》强化练习卷

1．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．

（1）求证：△PAB∽△PBC；

（2）求证：PA=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

证明：（1）∠ACB=90°，AB=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，

又∠APB=135°，

∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∠APB=∠BPC=135°，

∴△PAB∽△PBC．

（2）△PAB∽△PBC，

∴，

在Rt△ABC中，AB=AC，

∴，

∴PA=2PC．

（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，

∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，

∴∠EAP+∠ACP=90°，

又∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，

∴∠EAP=∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即，

∴h3=2h2，

△PAB∽△PBC，

∴，

∴．

即：h12=h2·h3．

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