:2019中考数学专题复习 等腰三角形的存在性问题（word版）

: 等腰三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得
解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
例题解析
例❶ 如图 1-1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 的坐标为(3, 4)，点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．


图 1-1
【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．
①当 DO＝DP 时，以 D 为圆心、DO 为半径画圆，与 x 轴的正半轴交于点 P，此时点 D
在 OP 的垂直平分线上，所以点 P 的坐标为(6, 0)（如图 1-2）．
②当 OD＝OP＝5 时，以 O 为圆心、OD 为半径画圆，与 x 轴的正半轴交于点 P(5, 0) （如 图 1-3）．
③当 PO＝PD 时，画 OD 的垂直平分线与 x 轴的正半轴交于点 P，设垂足为 E（如图 1-4）．
在 Rt△OPE 中， cos ÐDOP = = ， OE = ，所以OP =．
此时点 P 的坐标为 ( , 0) ．



图 1-2 图 1-3 图 1-4
上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标 P，其中① 和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．
代数法先设点 P 的坐标为(x, 0)，其中 x＞0，然后罗列△DOP 的三边长（的平方）．
DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．
①当 DO＝DP 时，52＝(x－3)2+42．解得 x＝6，或 x＝0．

当 x＝0 时既不符合点 P 在 x 轴的正半轴上，也不存在△DOP．
②当 OD＝OP 时，52＝x2．解得 x＝±5．当 x＝－5 时等腰三角形 DOP 是